অসীম সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি কি কোনো সসীম সংখ্যা হতে পারে ?

১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ... ... ... স্বাভাবিক সংখ্যার শেষ কোথায়? কিংবা সকল স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত? এর কোনো সঠিক উত্তর নেই। তুমি যত বড় সংখ্যাই লেখ, তার থেকেও বড় সংখ্যা আছে। তবে এই প্রশ্নের উত্তর হতে পারে অসীম (Infinity)। 

অসীম (Infinity) কী ? 

অসীম আসলে কোনো সংখ্যা নয় বরং এটি একটি ধারণা। একে সাধারণত '∞' চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়। আমাদের ধরাছোঁয়ার বা জ্ঞানের বাইরের অনেক বড় কোন সংখ্যা, পরিমাণ, অবস্থান বা তেমন যেকোনো কিছুই বোঝায় অসীম দ্বারা। স্বাভাবিক সংখ্যা ও বাস্তব সংখা শেষ কোথায়? সকল স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল কত? যেকোনো সংখ্যাকে কতবার অর্ধেক করা যাবে? এসব প্রশ্নের উত্তর হলো অসীম। 

এবার আরেকটা বিষয় নিয়ে কথা বলা যাক। তার আগে জেনে নিতে হবে ধারা এবং অনুক্রম সম্পর্কে।

অনুক্রম (Sequence) এবং ধারা (Series) কী ?

অনুক্রমকে বলা যেতে পারে কোন কিছুর তালিকা। তালিকার উপাদানগুলোর মাঝে কমা চিহ্ন দিলে সেটাই হবে 'অনুক্রম'। যেমন: 

• ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ... ... ... 
• ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ... ... ... 
• ১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ... ... ... 

এখন প্রশ্ন আসে তাহলে কি যে কোন সংখ্যা কমা কমা দিয়ে লিখলেই অনুক্রম হয়ে যাবে? উত্তর হচ্ছে 'না'। সংখ্যাগুলো মাঝে কোন একটা সম্পর্ক থাকা চাই। যেমন ধরো, আমি যে তিনটা অনুক্রম লিখলাম তার মধ্যে প্রথমটি স্বাভাবিক সংখ্যা অনুক্রম দ্বিতীয়টি বিজোড় সংখ্যার অনুক্রম, তৃতীয়টি পূর্ণবর্গ সংখ্যার অনুক্রম। অর্থাৎ, সবগুলোর পিছনে যুক্তি আছে তথা সংখ্যাগুলোর মধ্যে সম্পর্ক আছে।

এবার ধারা সম্পর্কে ধারণা দেয়া যাক। অনুক্রম বুঝলে ধারা বোঝা খুবই সহজ। অনুক্রমের সংখ্যাগুলোর মাঝে যদি কমার পরিবর্তে যোগ চিহ্ন দেওয়া হয় তবে তা 'ধারা' হয়ে যায়। অনুক্রমের মতো তো ধারা তৈরির জন্যও সংখ্যাগুলোর মাঝে সম্পর্ক থাকা প্রয়োজন। যেমন:

• ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ... ... ...
• ১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ + ১১ + ... ... ...
• ১ + ৪ + ৯ + ১৬ + ২৫ + ৩৬ + ... ... ...

ধারায় শুধু যোগ নয় বিয়োগ চিহ্নও বসতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, বিয়োগ চিহ্ন বসার মানে হচ্ছে ঋণাত্মক সংখ্যা যোগ করা। একটা উদাহরণ দিয়ে দেখা যাক।

১০ + ৬ + ২ - ২ - ৬ - ১০ - ১৪ - ... ... ... 

এটা একটা ধারা। ধারাটিকে বোঝার সুবিধার্থে এভাবেও লেখা যায়:

১০ + ৬ + ২ + (-২) + (-৬) + (-১০) + (-১৪) + ... ... ...

ধারাটি যদি ভালো করে লক্ষ্য করি তবে দেখা যাবে প্রথম সংখ্যা ১০, পরবর্তী সংখ্যা ৬, পরেরটা ২ অর্থাৎ প্রতিক্ষেত্রে সংখ্যা গুলো আগের সংখ্যা থেকে ৪ করে কম। তাহলে ২ থেকে ৪ কম সংখ্যাটি হবে (-২), পরের সংখ্যা হবে (-৬)। এভাবে ঋণাত্মক সংখ্যা যখন ধারায় লিখা হয়, যোগ (-৬) না লিখে সরাসরি বিয়োগ ৬ লেখা হয়।

➤ এবার জনপ্রিয় একটি ধারার উদাহরণ দেয়া যাক।

০ + ১ + ১ + ২ + ৩ + ৫ + ৮ + ১৩ + ২১ + ... ... ...

চেষ্টা করে দেখো সংখ্যাগুলোর মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করতে পারো কিনা।

খেয়াল করলে দেখতে পাবে, এখানে

তৃতীয় সংখ্যা, ১ = ০ + ১

চতুর্থ সংখ্যা, ২ = ১ + ১

পঞ্চম সংখ্যা, ৩ = ১ + ২

অর্থাৎ প্রথম ও দ্বিতীয় সংখ্যা যথাক্রমে ০ ও ১ এবং বাকি প্রতিটি সংখ্যা আগের দুইটি সংখ্যার যোগফলের সমান। এই ধারাটির নাম ফিবোনাক্কি ধারা (Fibonacci Series)।

ধারার প্রকারভেদ:

আগেই বলেছি, ধারার সংখ্যাগুলোর মাঝে সম্পর্ক থাকতে হয়। এই সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে ধারা বিভিন্ন ধরনের হতে পারে। যেমন:

সমান্তর ধারা (Arithmetic Series): কোনো ধারার পদগুলো যদি এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত থাকে যেন পাশাপাশি দুটি পদের বিয়োগফল বা অন্তর সর্বদা সমান হয় তাহলে সেই ধারাটি একটি সমান্তর ধারা হবে। যেমন:

• ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ... ... ...
• ১ + ৩ + ৫ + ৭ + ৯ + ১১ + ... ... ...
• ১০ + ৬ + ২ - ২ - ৬ - ১০ - ১৪ - ... ... ...

প্রথম ধারায় পাশাপাশি পদের অন্তর = ২ - ১ = ১ ;   ৩ - ২ = ১

দ্বিতীয় ধারায় এ অন্তর = ৩ - ১ = ২ ;  ৫ - ৩ = ২

এবং তৃতীয় ধারার ক্ষেত্রে = ৬ - ১০ = -৪ ;   ২ - ৬ = -৪

গুণোত্তর ধারা (Geometric Series): কোন ধারার পদগুলো যদি এমনভাবে সম্পর্কযুক্ত থাকে যেন পাশাপাশি দুটি পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় তাহলে সেই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা হবে। যেমন:

• ১ + ৩ + ৯ + ২৭ + ৮১ + ২৪৩ + ... ... ...
• ২ - ২ + ২ - ২ + ২ - ২ + ... ... ...
• ৮ + ৪ + ২ + ১ + ১/২ + ১/৪ + ১/৮ + ... ... ...

প্রথম ধারায় পাশাপাশি পদের অনুপাত = ৩ ÷ ১ = ৩ ;   ৯ ÷ ৩ = ৩

দ্বিতীয় ধারায় এ অনুপাত = (-২) ÷ ২ = -১ ;   ২ ÷ (-২) = -১

তৃতীয় ধারায় এ অনুপাত = ৪ ÷ ৮ = ১/২ ;   ২ ÷ ৪ = ১/২

ধারার কি কোনো শেষ আছে ?

ধারার শেষ থাকতেও পারে, নাও থাকতে পারে। যদি ধারাটি শেষ হয় অর্থাৎ একটি সমাপ্তি থাকে তবে সেটি হবে সসীম ধারা (Finite Series)। আর যদি কোন সমাপ্তি না থাকে তবে তা হবে অসীম ধারা (Infinite Series)। যদি প্রশ্ন করাই হয় যে, অসীম ধারার শেষ কোথায়? তবে এ প্রশ্নের উত্তর হবে 'অসীমে'। এ বিষয়ে আগেই আলোচনা করা হয়েছে।

১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ... ... ...

এই ধারাটির কোন শেষ নেই কিংবা বলা যেতে পারে এই ধারাটির শেষ অসীমে। তাই এটি একটি অসীম ধারা হবে।

আবার,

১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ... ... ... + ১০০

একই ধারাটিকে যদি এভাবে লিখা হয় তাহলে এটি একটি সসীম ধারা হবে। এক্ষেত্রে ধারাটির একটি সমাপ্তি দেখানো হয়েছে অর্থাৎ ১০০ সংখ্যাটিকে ধারাটির সমাপ্তি বোঝানো হয়েছে। তাই এটি একটি সসীম ধরা হবে।

ধারার পদগুলোর কি সমষ্টি নির্ণয় সম্ভব ?

সসীম ধারার পদগুলোর যে সমষ্টি নির্ণয় সম্ভব তা নিশ্চয় বুঝতে পারছ।

১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬

এটি একটি সসীম ধারা যার সমষ্টি ২১।

আবার,

৩ + ৬ + ৯ + ... ... ... + ৩০

এটিও একটি সসীম ধারা যার সমষ্টি হবে ১৬৫।

এবার অসীম ধারার কথা চিন্তা করা যাক।

১ + ২ + ৩ + ৪ + ... ... ...

এই ধারার সমষ্টি কত? এর উত্তর আগেই দেয়া হয়েছে। এর উত্তর হলো অসীম অর্থাৎ আমাদের সীমিত জ্ঞান দ্বারা এর সমষ্টি নির্ণয় সম্ভব নয়।

আপাতদৃষ্টিতে মনে হচ্ছে যে অসীম সংখ্যক পদ থাকলেই তার সমষ্টি হবে অসীম। কিন্তু বাস্তবে তা নয়। বিশেষ ধরণের অসীম ধারার সমষ্টি সসীম তথা আমার জানা সংখ্যায় প্রকাশযোগ্য হতে পারে। এরূপ অসীম ধারার সমষ্টিকে বলে অসীমতক সমষ্টি।

কোন শর্তে একটি অসীম ধারার সমষ্টি নির্ণয় করা যাবে?

প্রথমত অসীম ধারাটি হতে হবে একটি গুণোত্তর ধারা এবং দ্বিতীয়ত এর সাধারন অনুপাত হতে হবে '১' এর চেয়ে ছোট তবে '-১' থেকে বড়। সাধারণ অনুপাত হচ্ছে পাশাপাশি দুইটি পদের অনুপাত।

সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় পদ ÷ প্রথম পদ

এরূপ শর্তের কারণ আমরা পরে জানতে পারবো।

এবার কিছু ধারার উদাহরণ দেয়া যাক যাদের অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় সম্ভব।

• ৮ + ৪ + ২ + ১ + ১/২ + ... ... ...
• ৩ + ০.৩ + ০.০৩ + ০.০০৩ + ... ... ...
• ৭ + ১ + ১/৭ + (১/৭)^২ + ... ... ...

এখানে তিনটি ধারাই গুণোত্তর ধারা যাদের সাধারণ অনুপাত যথাক্রমে ১/২ বা ০.৫, ০.১ এবং ১/৭। এদের অসীমতক সমষ্টি যথাক্রমে ১৬, ১০/৩ এবং ৪৯/৬।

অসীম সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি সসীম হয় কীভাবে ?

একটি ধারা দেখা যাক-

০.৩ + ০.০৩ + ০.০০৩ + ... ... ...

ধারাটির সাধারণ অনুপাত (০.০০৩÷০.০৩) = (০.০৩÷০.৩) = ০.১ যা ১ এর চেয়ে ছোট, অর্থাৎ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় সম্ভব। ধারাটির প্রথম দুইটি পদের সমষ্টি ০.৩৩; প্রথম তিনটি পদের সমষ্টি ০.৩৩৩; এভাবে সম্পূর্ণ ধারার সমষ্টি হবে ০.৩৩৩৩৩৩৩ ... ... ... (অসীম পর্যন্ত চলমান)

ধরি, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি 'ক'

সুতরাং, ক = ০.৩৩৩৩৩৩৩ ... ... ...

বা, ১০×ক = ১০×০.৩৩৩৩৩৩৩ ... ... ... = ৩.৩৩৩৩৩৩৩ ... ... ...

বা, ১০ক - ক = ৩.৩৩৩৩৩৩৩ ... ... ... - ০.৩৩৩৩৩৩৩ ... ... ...

বা, ৯ক = ৩

অর্থাৎ ক = ৩/৯ = ১/৩

তাহলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি হবে ১/৩।

এখন চাইলে ১ কে ৩ দ্বারা ভাগ করে দেখতে পারো। ভাগফল হবে ০.৩৩৩৩৩৩৩ ... ... ... (তুমি যতক্ষণ ভাগ করতে পারবে ততগুলো '৩' আসতেই থাকবে) যা প্রদত্ত ধারাটির যোগফলের সমান।

এবারে একটু ভিন্নভাবে চিন্তা করা যাক। প্রথমে একটি কাগজ নেই। পুরো কাগজটিকে ধরি ১। কাগজটিকে মাঝখান থেকে সমান দুইটি অংশে (১/২) কেটে নেই। একটি রেখে দেই, অপরটি আবার দুইভাগ (১/৪) করে একটি অংশ প্রথম অর্ধেকের সাথে রাখি। এভাবে প্রতিবার অর্ধেক করে এক অংশ রেখে দেই এবং বাকি অংশ আবার অর্ধেক করি। তাহলে রেখে দেয়া অংশগুলোর সমষ্টি হবে

১/২ + ১/৪ + ১/৮ + ১/১৬ + ... ... ...

এভাবে যদি অনেকবার ভাগ করি এবং একটি করে অংশ রাখতে থাকি একপর্যায়ে দেখা যাবে এই রেখে দেয়া টুকরাগুলো প্রায় সম্পূর্ণ কাগজটির সমান। অর্থাৎ অর্ধেক করার জন্য খুবই ক্ষুদ্র অংশ অবশিষ্ট থাকবে। এভাবে অসীম সংখ্যকবার একই কাজ করলে ওই রেখে দেয়া অংশগুলোর সমষ্টি হবে সম্পূর্ণ কাগজটির সমান। অর্থাৎ, ১/২, ১/৪, ১/৮, ১/১৬ ... ... ... এই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি হবে ১।

অসীমতক সমষ্টি নির্ণয়ের কৌশল:

অসীমতক সমষ্টি নির্ণয়ের জন্য এত কষ্ট করতে হয় না, এর জন্য একটা খুব সহজ সুত্র আছে।

S = a ÷ (1 - r)

যেখানে, S অসীমতক সমষ্টি, a প্রথম পদ ও r সাধারণ অনুপাত। অর্থাৎ,

অসীমতক সমষ্টি = প্রথম পদ ÷ (১ - সাধারণ অনুপাত)

অবশ্যই ধারাটি অসীম গুণোত্তর ধারা হওয়া চাই এবং সাধারণ অনুপাত হতে হবে '১' এর কম, '-১' এর বেশি।

এই সূত্রটি এসেছে গুণোত্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র থেকে। গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র,

S = {a × (1 - r^n)} ÷ (1 - r) = {প্রথম পদ × (১ - সাধারণ অনুপাত^n)} ÷ (১ - সাধারণ অনুপাত)

অসীমতক সমষ্টির শর্তানুযায়ী, -১ < r < ১

১ থেকে ছোট যেকোনো সংখ্যা নেই। যেমন: ০.১

০.১^২ = ০.০১
০.১^৩ = ০.০০১
০.১^৫ = ০.০০০০১

০.১^৫০ = দশমিকের পরে ৪৯টি ০ এর পরে ১

অর্থাৎ, ঘাত (power) যত বড় হচ্ছে সংখ্যার মান তত ছোট হচ্ছে। যখন ঘাত হবে অসীম তখন মান হবে শূন্য (০)।

এরূপ ঘটনা শুধু '-১' এর চেয়ে বড় এবং '১' এর চেয়ে ছোট সংখ্যার ক্ষেত্রেই ঘটে বলে '-১ < সাধারণ অনুপাত < ১' হতে হয়। আর ধারাটি গুণোত্তর না হলে তার উপর গুণোত্তর ধারার সূত্র প্রয়োগ করা যায় না বলে ধারাটি গুণোত্তর হতে হয়।

এবার গুণোত্তর ধারার সূত্রে n = ∞ (অসীম) বসালে পাই,

S = {a × (1 - r^∞)} ÷ (1 - r)

যেহেতু, -1 < r < 1 ; সেহেতু r^∞ = 0

সুতরাং, S = {a × (1 - 0)} ÷ (1 - r)

বা, S = (a × 1) ÷ (1 - r)

বা, S = a ÷ (1 - r)

সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = প্রথম পদ ÷ (১ - সাধারণ অনুপাত)

➤ এবার আমরা পূর্বে উল্লেখিত কিছু ধারার সমষ্টি সূত্র দিয়ে আবার বের করে মিলিয়ে নেই।

০.৩ + ০.০৩ + ০.০০৩ + ... ... ... 

এই ধারার প্রথম পদ, a = ০.৩

সাধারণ অনুপাত, r = ০.০৩ ÷ ০.৩ = ০.১ [-১<০.১<১]

অসীমতক সমষ্টি, S = a ÷ (1 - r) = ০.৩ ÷ (১ - ০.১) = ০.৩ ÷ ০.৯ = ৩ ÷ ৯ = ১ ÷ ৩ = ১/৩

মিলে গেল আগের উত্তরের সাথে।

১/২ + ১/৪ + ১/৮ + ১/১৬ + ... ... ...

এই ধারার অসীমতক সমষ্টি ১ আসে কিনা তা নাহয় পাঠকদের মিলিয়ে নেয়ার জন্যই রেখে গেলাম।